Michael Spivak "Calculus on Manifolds"

微積分の（というか微分形式の）勉強をちゃんとしたくなったので，勉強会を開いて読むことにしました．私が毎回 LaTeX のノートを用意して板書しながら説明して質問に答え続けるというしかたで読みました．板書と言っても，物理的な黒板を使っているわけではなくて，GoodNotes をインストールした iPad を Mac に有線接続し，iPad の画面を QuickTime Player で Mac 上に出した上で画面共有をする，という仕方です．

本をそのままなぞるのも微妙な気がしたので，積分は測度論ベースでやることにしました．修士課程にいたころになんとなく追いかけた議論たちを改めてきちんとやり直せたのでよかった反面，原著にあった軽快さはなくなってしまったかもしれません．

ありがたいことに，参加者の方々が毎回いろいろな質問をしてくれて，私の当初の目論見を越えて学び多い会になりました．

ノート

github にノートの tex ファイル，並びにそれをコンパイルした pdf ファイルが置いてあります．

進行の記録

日付は2021年からです．

• 04/22 線型代数の復習，開集合，閉集合，コンパクトの定義，Heine-Borel の定理．
• 04/30 Heine-Borel の定理の逆，微分の定義，Jacobi 行列，合成則．
• 05/15 雑談
• 05/23 微分の基本性質，偏微分の定義，微分と偏微分の関係，non-analytic smooth function．
• 06/01 逆関数定理（縮小写像の原理に基づく証明），陰関数定理．
• 06/09 陰関数定理（続き），Lagrange 未定乗数法．
• 06/22 測度論の概要，測度空間，測度の基本性質，Lebesgue 測度，拡張定理（ステートメントのみ）．
• 07/01 拡張定理の証明，Lebesgue 測度の構成．
• 07/07 可測関数．
• 07/22 積分の定義と基本性質，単調収束定理の証明．
• 08/08 Fatou の補題，優収束定理，収束定理たちの応用， L^p 空間の包含関係．
• 08/20 直積測度，Fubini の定理．
• 09/03 雑談
• 09/16 1の分割，変数変換公式．Sard の定理は飛ばしました．
• 09/29 微分形式のモチベーション．
• 10/12 双対空間，テンソル，交代テンソル．
• 10/22 交代テンソル（続き），ベクトル場の定義．
• 11/03 ベクトル場に沿った微分，ベクトル場の座標変換則．
• 11/23 写像の微分，微分形式の基本性質．
• 12/22 微分形式の基本性質（続き），外微分．
• 01/09 微分形式の引き戻し，R^n 上の微分形式の積分．
• 01/26 鎖体上の微分形式の積分，鎖体における Stokes の定理．
• 02/28 微分可能多様体の定義，定義と同値な特徴づけ，ふち付き多様体．
• 03/11 多様体上のベクトル場と微分形式，多様体の向き．
• 04/03 Stokes の定理．
• 04/17 古典ベクトル解析の諸定理．